Integrales definidas

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

a = límite inferior de la integración                                       

b = límite superior de la integración

Ejemplos:

1.    Integre:

 

Integra:

Aplica la resta: límite superior – límite inferior

Sustituir el valor de x con los valores del límite superior e inferior

Calculamos:

Tenemos como resultado:

2. Integre:

 

Aplica la distributiva:

 

 

 

 

 

 

Simplificamos:

 

 

La integral definida por sustitución de variable

1. Integre:

Hallamos los valores de u

 

Integramos:

 

No puede tener un denominador negativo, entonces:

Sustituimos el valor de u con el valor actual de u (x – 1) y sustituimos el valor de x con los valores de x originales (-1, -2). Seguimos con la resta, límite superior – límite inferior.

Obtenemos como resultado:

El último paso es para comprobar el resultado que obtuvimos. Para hacer esta comprobación, volvemos al paso de la resta (límite superior – límite inferior) pero esta vez usamos los nuevos valores de u (-2, -3)

 

Sacamos el  mismo resultado, entonces sabemos que realizamos la integral definida de forma correcta.